Ecuación diferencial por serie de potencias

Alguien podria explicarme como se podria hacer la suiguiente ec, diferencial por el metodo de series. Y'-2xy=0 y(0)=1

Hola.

Cuando se suministran condiciones iniciales en una ecuación diferencial, generalmente el método de series de potencia para resolverla se simplifica.

¿Recuerdas las series de Taylor? Es la siguiente:

Se observa claramente que la ecuación diferencial debe ser solucionada alrededor de un punto ordinario y no singular, esto se verifica observando el coeficiente de la derivada de mayor orden, en este caso es 1, seria de punto singular si existiera un valor de la variable independiente que anule esta derivada, por ejemplo:

(x-1)y’’- y = 0, en este caso x=1 es un punto singular. Los puntos singulares se clasifican en regulares e irregulares.

Como el problema no nos proporciona alrededor de que punto ordinario vamos a trabajar podemos asumir x=0. (x=a) en otras palabras a=0.

Cuando a=0 la serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.

Tenemos lo siguiente, y(0) = 1. Esto significa que cuando x=0 ; y=1

Ahora:

Y^’ = 2xy

Evaluando

Y^’ = 2(0)*(1) ; Y^’ = 0

___________________________________________________

Y^’’= 2y+2xy^’

Evaluando

Y^’’= 2(1)+2(0)(1) ; Y^’’= 2

___________________________________________________

Y⁽³⁾ = 2y^’ + 2y^’+ 2xy^’’

Evaluando

Y⁽³⁾ = 0

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Y⁽⁴⁾ = 2y^’’+ 2y^’’+ 2y^’’+ 2xy⁽³⁾

Y⁽⁴⁾ = 12

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Y⁽⁵⁾ = 2Y⁽³⁾ + 2Y⁽³⁾ + 2Y⁽³⁾ + 2Y⁽³⁾ + 2xy⁽⁴⁾

Y⁽⁵⁾ = 0

Y⁽⁶⁾ = 120

Sustituyendo en la serie Maclaurin

Recordar, y = f(x).


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